相遇与追及问题_题库教师版

题材作文2020-04-16 19:42:387edu教育网

一、相遇

甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程,如果两人同时出发,那么

相遇路程=甲走的路程 乙走的路程=甲的速度×相遇时间 乙的速度×相遇时间

=(甲的速度 乙的速度)×相遇时间

=速度和×相遇时间.

一般地,相遇问题的关系式为:速度和×相遇时间=路程和,即

二、追及

有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差(追及路程).如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间(追及时间)内:

追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间

=(甲的速度-乙的速度)×追及时间

=速度差×追及时间.

一般地,追击问题有这样的数量关系:追及路程=速度差×追及时间,即

例如:假设甲乙两人站在100的跑道上,甲位于起点(0)处,乙位于中间5处,经过时间t后甲乙同时到达终点,甲乙的速度分别为,那么我们可以看到经过时间t后,甲比乙多跑了5,或者可以说,在时间t内甲的路程比乙的路程多5,甲用了时间t追了乙5

三、在研究追及和相遇问题时,一般都隐含以下两种条件:

(1)在整个被研究的运动过程中,2个物体所运行的时间相同

(2)在整个运行过程中,2个物体所走的是同一路径。

模块一、直线上的相遇与追及问题

【例1】一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米。小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米?

1【解析】本题是简单的相遇问题,根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为:46 48×=94×=329(千米).

【巩固】两地间的路程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时,各行了多少千米?.

【例2】大头儿子的家距离学校3000,小头爸爸从家去学校接大头儿子放学,大头儿子从学校回家,他们同时出发,小头爸爸每分钟比大头儿子多走2450分钟后两人相遇,那么大头儿子的速度是每分钟走多少米?

1【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和:(/分钟),小头爸爸的速度:(/分钟),大头儿子的速度:(/分钟)

【巩固】聪聪和明明同时从各自的家相对出发,明明每分钟走20,聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42,经过20分钟后两人相遇,你知道聪聪家和明明家的距离吗?

2【解析】方法一:由题意知聪聪的速度是:(/),两家的距离明明走过的路程聪聪走

3【解析】过的路程(),请教师画图帮助学生理解分析.

注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式:.对于刚刚学习奥数的孩子,注意引导他们认识、理解及应用公式.

方法二:直接利用公式:()

【例3】两地相距米,包子从地到地需要秒,菠萝从地到地需要秒,现在包子和菠萝从两地同时相对而行,相遇时包子与地的距离是多少米?

1【解析】包子的速度:(米/秒),菠萝的速度:(米/秒),相遇的时间:(),包子距地的距离:()

【巩固】甲、乙两车分别从相距千米的两城同时出发,相对而行,已知甲车到达城需小时,乙车到达城需小时,问:两车出发后多长时间相遇?

2【解析】要求两车的相遇时间,则必须知道它们各自的速度,甲车的速度是(千米/时),乙车的速度是(千米/时),则相遇时间是(小时).

【例4】甲、乙两辆汽车分别从两地出发相对而行,甲车先行小时,甲车每小时行千米,乙车每小时行千米,小时相遇,求两地间的距离.

1【解析】这题不同的是两车不同时

(法)求两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和.这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程,再把两部分合起来.(千米),(千米),(千米).

(法)还可以先求出甲、乙两车小时所行的路程和,再加上甲车小时所行的路程.

(千米),(千米).

【巩固】甲、乙两列火车从相距千米的两地相向而行,甲车每小时行千米,乙车每小时行千米,乙车先出发小时后,甲车才出发.甲车行几小时后与乙车相遇?

2【解析】甲、乙两车出发时间有先有后,乙车先出发小时,这段时间甲车没有行驶,那么乙车这小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程,所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程,再除以速度和,才是甲、乙两车同时相对而行的时间.乙车先行驶路程:(千米),甲、乙两车同时相对而行路程:(千米),甲、乙两车速度和:(千米/时)甲车行的时间:(小时)

【巩固】甲、乙两列火车从相距千米的两地相向而行,甲车每小时行千米,乙车每小时行千米,乙车先出发小时后,甲车才出发.甲车行几小时后与乙车相遇?

3【解析】甲、乙两车出发时间有先有后,乙车先出发小时,这段时间甲车没有行驶,那么乙车这小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程,所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程,再除以速度和,才是甲、乙两车同时相对而行的时间.乙车先行驶路程:(千米),甲、乙两车同时相对而行路:(千米),甲、乙两车速度和:(千米),与乙车相遇时甲车行的时间为:(小时)

【巩固】妈妈从家出发到学校去接小红,妈妈每分钟走米.妈妈走了分钟后,小红从学校出发,小红每分钟走米.再经过分钟妈妈和小红相遇.从小红家到学校有多少米?

4【解析】妈妈先走了分钟,就是先走了(米).分钟后妈妈和小红相遇,也就是说妈妈和小红共同走了分钟,这一段的路程为:(米),这样妈妈先走的那一段路程,加上后来妈妈和小红走的这一段路程,就是小红家到学校的距离.即(米).

【巩固】甲乙两座城市相距千米,货车和客车从两城同时出发,相向而行.货车每小时行千米,客车每小时行千米.客车在行驶中因故耽误小时,然后继续向前行驶与货车相遇.问相遇时客车、货车各行驶多少千米?

5【解析】因为客车在行驶中耽误小时,而货车没有停止继续前行,也就是说,货车比客车多走小时.如果从总路程中把货车单独行驶小时的路程减去,然后根据余下的就是客车和货车共同走过的.再求出货车和客车每小时所走的速度和,就可以求出相遇时间.然后根据路程=速度×时间,可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程.相遇时间:(小时)相遇时客车行驶的路程:(千米)相遇时货车行驶的路程:(千米).

【巩固】甲、乙两列火车从相距千米的两个城市对面开来,甲列火车每小时行千米,乙列火车每小时行千米,甲列火车先开出小时后,乙列火车才开出,问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇?

6【解析】(小时)

【例5】甲、乙两辆汽车分别从两地出发相向而行,甲车先行3小时后乙车从地出发,乙车出发小时后两车还相距千米.甲车每小时行千米,乙车每小时行千米.求两地间相距多少千米?

1【解析】题目中写的相距千米指的就是最简单的情况。画线段图如下:

由图中可以看出,甲行驶了(小时),行驶距离为:(千米);乙行驶了小时,行驶距离为:(千米),此时两车还相距千米,所以两地间相距:(千米)

也可以这样做:两车小时一共行驶:(千米)两地间相距:(千米),所以,两地间相距千米.

【巩固】(全国希望杯数学邀请赛)甲、乙两辆汽车从两地同时相向开出,出发后小时,两车相距千米;出发后小时,两车相遇.两地相距多少千米?

2【解析】公式相遇时间路程和速度和中,对于速度不变的两车,相遇时间路程和是一一对应的.如图所示

小时的相遇时间与两地的距离相对应,()小时的相遇时间与千米相对应.两车的速度之和是:(千米/).两地相距:(千米)

【例6】两列城铁从两城同时相对开出,一列城铁每小时走千米,另一列城铁每小时走千米,在途中每列车先后各停车次,每次停车分钟,经过小时两车相遇,求两城的距离?

1【解析】每列车停车时间:(分)=(小时),两列车停车时间共小时,共同行驶时间:小时,速度和:(千米),两城距离:(千米).

【巩固】两列城铁从两城同时相对开出,一列城铁每小时走千米,另一列城铁每小时走千米,在途中每列车先后各停车次,每次停车分钟,经过小时两车相遇,求两城的距离?

2【解析】每列车停车时间:(分)=(小时),两列车停车时间共小时,共同行驶时间:小时,速度和:(千米),两城距离:(千米).

【例7】甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞,向同一方向飞行,甲机每小时行千米,乙机每小时行千米,飞行小时后它们相隔多少千米?这时候甲机提高速度用小时追上乙机,甲机每小时要飞行多少千米?

1【解析】小时后相差多少千米:(千米).甲机提高速度后每小时飞行多少千米:(千米).

【巩固】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词,于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去,二人的速度分别为50千米/时,60千米/时,那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?

2【解析】两人虽然不是相对而行,但是仍合力完成了路程,(50 60×5=550(千米).

【巩固】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地城的方向各执一词,于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去,二人的速度分别为千米/时,千米/时,那么北辙先生出发小时他们相距多少千米?

3【解析】两人虽然不是相对而行,但是仍合力完成了路程,(千米).

【巩固】两列火车从相距千米的两城背向而行,甲列车每小时行千米,乙列车每小时行千米,小时后,甲、乙两车相距多少千米?

4【解析】因为是背向而行,所以每过1小时,两车就多相距(千米),小时后两车相距是:(千米).

【巩固】两列火车从相距千米的两城背向而行,甲列车每小时行千米,乙列车每小时行千米,小时后,甲、乙两车相距多少千米?

5【解析】因为是背向而行,所以两车小时后的距离是:(千米)。

【例8】两地相距米,甲、乙二人同时、同地向同一方向行走,甲每分钟走米,乙每分钟走米,当乙到达目标后,立即返回,与甲相遇,从出发到相遇共经过多少分钟?

1【解析】甲、乙二人开始是同向行走,乙走得快,先到达目标.当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行,把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加,就是共同经过的时乙到达目标时所用时间:(分钟),甲分钟走的路程:(),甲距目标还有:(),相遇时间:(分钟),共用时间:(分钟)

【巩固】八戒和悟空两家相距千米,两人同时骑车,从家出发相对而行,悟空每小时行千米,八戒每小时行千米.两人相遇时,悟空和八戒各行了多少千米?

2【解析】要求他们各行了多少千米,那么就必须知道他们行驶的时间:(小时).悟空:(千米),八戒:(千米).

【例9】两地相距3300,甲、乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行82,乙每分钟行83,已经行了15分钟,还要行多少分钟两人可以相遇?

1【解析】根据题意列综合算式得到:(分钟),所以两个人还需要5分钟相遇。

【巩固】两地相距400千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行40千米,乙车每小时比甲车多行5千米4小时后两车相遇了吗?为什么?

2【解析】(千米)(千米)340千米<400千米,因为两车4小时共行340千米,所以4小时后两车没有相遇.

【例10】孙悟空在花果山,猪八戒在高老庄,花果山和高老庄中间有条流沙河,一天,他们约好在流沙河见面,孙悟空的速度是200千米/小时.猪八戒的速度是150千米/小时,他们同时出发2小时后还相距500千米,则花果山和高老庄之间的距离是多少千米?

1【解析】注意:还相距相距的区别.建议教师画线段图.可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程:(千米),又因为还差500,所以花果山和高老庄之间的距离:(千米)

【巩固】两列货车从相距450千米的两个城市相向开出,甲货车每小时行38千米,乙货车每小时行40千米,同时行驶4小时后,还相差多少千米没有相遇?

2【解析】所求问题=全程-小时行驶的路程和.路程和:(千米),

(千米).

【例11】(2008年第六届希望杯一试)甲乙两人分别以每小时6千米,每小时4千米的速度从相距30千米的两地向对方的出发地前进.当两人之间的距离是l0千米时,他们走了___________小时.

1【解析】有两种情况,一种是甲乙两人一共走了(千米),一种是甲乙两人一共走了(千米),所以有两种答案:(小时)(小时)

【巩固】一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向而行,公共汽车每小时行千米,小轿车每小时行千米,问几小时后两车相距千米?

2【解析】两车在相距千米的两地相向而行,距离逐渐缩短,在相遇前某一时刻两车相距千米,这时两车共行的路程应为()千米.即(小时).需要注意的是当两车相遇后继续行驶时,两车之间的距离又从零逐渐增大,到某一时刻,两车再一次相距千米.这时两车共行的路程为千米,即(小时)

【巩固】两列火车从相距千米的两城相向而行,甲列车每小时行千米,乙列车每小时行千米,小时后,甲、乙两车还相距多少千米?

3【解析】两车的相距路程减去小时两车共行的路程,就得到了两车还相距的路程:(千米).

【例12】甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行.出发小时后,两人相距千米;出发小时后,两人还相距千米.问出发多少小时后两人相遇?

1【解析】根据小时后相距千米,小时后相距千米,可以求出甲、乙二人小时行的路程和为千米,即可求出两人的速度和:(千米),根据相遇问题的解题规律;相隔距离÷速度和=相遇时间,可以求出行千米需要:(小时).

【例13】甲、乙两地相距240千米,一列慢车从甲地出发,每小时行60千米.同时一列快车从乙地出发,每小时行90千米.两车同向行驶,快车在慢车后面,经过多少小时快车可以追上慢车?(火车长度忽略不计)

1【解析】追及路程即为两地距离240千米,速度差(千米),所以追及时间(小时)

【巩固】下午放学时,弟弟以每分钟40的速度步行回家.5分钟后,哥哥以每分钟60的速度也从学校步行回家,哥哥出发后,经过几分钟可以追上弟弟?(假定从学校到家有足够远,即哥哥追上弟弟时,仍没有回到家).

2【解析】若经过5分钟,弟弟已到了A地,此时弟弟已走了40×5=200(米);哥哥每分钟比弟弟多走20,几分钟可以追上这200呢?40×5÷60-40=200÷20=10(分钟),哥哥10分钟可以追上弟弟.

【巩固】甲、乙二人都要从北京去天津,甲行驶10千米后乙才开始出发,甲每小时行驶15千米,乙每小时行驶10千米,问:乙经过多长时间能追上甲?

3【解析】出发时甲、乙二人相距10千米,以后两人的距离每小时都缩短15-105(千米),即两人的速度的差(简称速度差),所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷15-10)=10÷52(小时),还需要2个小时。

【巩固】解放军某部先遣队,从营地出发,以每小时6千米的速度向某地前进,12小时后,部队有急事,派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络,问多少时间后,通讯员能赶上先遣队?

4【解析】(小时)

【巩固】甲地和乙地相距千米,平平和兵兵由甲地骑车去乙地,平平每小时行千米,兵兵每小时行千米,当平平走了千米后,兵兵才出发,当兵兵追上平平时,距乙地还有多少千米?

5【解析】平平走了千米后,兵兵才出发,这千米就是平平和兵兵相距的路程.由于兵兵每小时比平平多走(千米),要求兵兵几小时可以追上千米,也就是求千米里包含着几个千米,用(小时).因为甲地和乙地相距千米,兵兵每小时行千米,小时走了(千米),所以兵兵追上平平时,距乙地还有(千米)

【例14】小明步行上学,每分钟行70.离家12分钟后,爸爸发现小明的明具盒忘在家中,爸爸带着明具盒,立即骑自行车以每分钟280的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明?当爸爸追上小明时他们离家多远?

1【解析】

当爸爸开始追小明时,小明已经离家:(),即爸爸要追及的路程为840,也就是爸爸与小明的距离是840,我们把这个距离叫做路程差,爸爸出发后,两人同时走,每过1分,他们之间的距离就缩短(),也就是爸爸与小明的速度差为(/),爸爸追及的时间:(分钟).当爸爸追上小明时,小明已经出发(分钟),此时离家的距离是:()

【巩固】哥哥和弟弟在同一所学校读书.哥哥每分钟走65,弟弟每分钟走40,有一天弟弟先走5分钟后,哥哥才从家出发,当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校有多远?

2【解析】哥哥出发的时候弟弟走了:(米),哥哥追弟弟的追及时间为:(分钟),所以家离学校的距离为:(米).

【巩固】小明以每分钟50的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学校1000处追上小明,求小强骑自行车的速度.

3【解析】小强出发的时候小明走了(米),被小强追上时小明又走了:(分钟),说明小强8分钟走了1000,所以小强的速度为:(米/分钟).

【巩固】小聪和小明从学校到相距米的电影院去看电影.小聪每分钟行米,他出发后分钟小明才出发,结果俩人同时到达影院,小明每分钟行多少米?

4【解析】要求小明每分钟走多少米,就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间;要求小明所用的时间,就要先求小聪所用的时间,小聪所用的时间是:(分钟),小明所用的时间是:(分钟),小明每分钟走的米数是:()

【巩固】一辆慢车从甲地开往乙地,每小时行千米,开出小时后,一辆快车以每小时千米的速度也从甲地开往乙地.在甲乙两地的中点处快车追上慢车,甲乙两地相距多少千米?

5【解析】慢车先行的路程是:(千米),快车每小时追上慢车的千米数是:(千米),追及的时间是:(小时),快车行至中点所行的路程是:(千米),甲乙两地间的路程是:(千米)

【巩固】六年级同学从学校出发到公园春游,每分钟走米,分钟以后,学校有急事要通知学生,派老师骑自行车从学校出发分钟追上同学们,老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们?

6【解析】同学们分钟走(米),即路程差.然后根据速度差=路程差÷追及时间,可以求出老师和同学们的速度差,又知道同学们的速度是每分钟米,就可以得出老师的速度.即(米).

【例15】小强每分钟走米,小季每分钟走米,两人同时从同一地点背向走了分钟,小强掉头去追小季,追上小季时小强共走了多少米?

1【解析】小强走的时间是两部分,一部分是和小季背向走的时间,另一部分是小季追他的时间,要求追及时间,就要求出他们的路程差.路程差是两人相背运动的总路程:()追及时间为:(分钟)小强走的总路程为:()

【例16】王芳和李华放学后,一起步行去体校参加排球训练,王芳每分钟走米,李华每分钟走米,出发分钟后,王芳返回学校取运动服,在学校又耽误了分钟,然后追赶李华.求多少分钟后追上李华?

1【解析】已知二人出发分钟后,王芳返回学校取运动服,这样用去了分钟,在学校又耽误了分钟,王芳一共耽误了(分钟).李华在这段时间比王芳多走:(),速度差为:(/),王芳追上李华的时间是:(分钟)

【巩固】小王、小李共同整理报纸,小王每分钟整理份,小李每分钟整理份,小王迟到了分钟,当小王、小李整理同样多份的报纸时,正好完成了这批任务.一共有多少份报纸?

2【解析】本题可用追及问题思路解题,类比如下:路程差:小王迟到分钟这段时间,小李整理报纸的份数(份),速度差:(份/分钟).此时可求两人整理同样多份报纸时,小王所用时间,即追及时间是(分钟).共整理报纸:(份)

【巩固】甲、乙两车同时从地向地开出,甲每小时行千米,乙每小时行千米,开出小时后,甲车因有紧急任务返回地;到达地后又立即向地开出追乙车,当甲车追上乙车时,两车正好都到达地,求两地的路程.

3【解析】根据题意画出线段图:

从图中可以看出,当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的小时的路程,那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间,而追及时间正好是甲车从地到地所用的时间,由此可以求出两地的路程,追及路程为:(千米),追及时间为:(小时),两地的路程为:(千米).

【巩固】小李骑自行车每小时行千米,小王骑自行车每小时行千米.小李出发后小时,小王在小李的出发地点前面千米处出发,小李几小时可以追上小王?

4【解析】小李小时走:(千米),又知小王在小李的出发地点前面千米处出发,则知道两人的路程差是(千米).每小时小王追上小李(千米),则千米里面有几个千米,则追及时间就是几小时,即:(小时).

【例17】甲、乙两辆汽车同时从地出发去地,甲车每小时行千米,乙车每小时行千米.途中甲车出故障停车修理了小时,结果甲车比乙车迟到小时到达地.两地间的路程是多少?

1【解析】由于甲车在途中停车小时,比乙车迟到小时,说明行这段路程甲车比乙车少用小时.可理解成甲车在途中停车小时,两车同时到达,也就是乙车比甲车先行小时,两车同时到达地,所以,也可以用追及问题的数量关系来解答.即:行这段路程甲车比乙车少用的时间是:(小时),乙车小时行的路程是:(千米),甲车每小时比乙车多行的路程是:(千米),甲车所需的时间是:(小时)两地间的路程是:(千米)

【例18】甲、乙两车分别从两地出发,同向而行,乙车在前,甲车在后.已知甲车比乙车提前出发小时,甲车的速度是千米/小时,乙车每小时行千米.甲车出发小时后追上乙车,求两地间的距离.

1【解析】由已知可求出甲、乙两车的追及时间,利用追及问题的公式求解.追及时间为:(小时),追及路程为:(千米),两地间的距离为:(千米)

【巩固】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发,向同一个方向前进,摩托车在前,每小时行千米,汽车在后,每小时行千米,经过小时汽车追上摩托车,甲乙两地相距多少千米?

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